آموزش حل گرهای حل معادلات ode در نرم افزار متلب و سیمولینک

بسیاری از محققین و دانشجویان از نرم افزار متلب برای حل معادلات ordinary differential equation یا ode استفاده می کنند. برای حل معادلات ode نرم  افزار متلب حل گرهای متفاوتی را در اختیار کاربران قرار می‏دهد.  در این پست هدف بررسی حل گرهای معادلات ode و آموزش استفاده از حل گرها و حل معادلات به کمک آنها است. در ابتدا حل گر به صورت عمومی توضیح داده شده و سپس هر کدام از آپشن ها و خصوصیات مختلف دستور توضیح داده شده است.

در صورت داشتن هرگونه سوال، لطف کنید سوالاتتون رو در قسمت نظرات مطرح کنید. و در صورت داشتن پروژه در خصوص نرم افزار MATLAB و مهندسی مکانیک ، کنترل، محاسبات عددی، SIMULINK، SimMechanics میتوانید از طریق ایمیل و تلفن در قسمت تماس با ما، ارتباط برقرارکنید.

حل گرهای معادلات ode در نرم افزار متلب

دستور اصلی نرم افزار متلب برای حل معادلات فوق به صورت زیر است.

[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options)

Solver : در ابتدا به بررسی solver که معرف انواع حل گرها است پرداخته می‏شود. همانگونه که مشخص است برای حل معادلات ode در نرم افزار متلب باید به جای solver یکی از حل گر های ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, and ode23tb قرار داده شود. برای مثال برای حل معادلات با حل گر ode45 که حل گر عمومی نرم افزار متلب است به صورت زیر عمل می‏شود. هر کدام از حل گر ها دارای توانایی‏های متفاوتی هستند که در پست های آتی به طور مفصل مورد بررسی قرار خواهند گرفت.

[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

Odefun: نام تابعی است که قرار است مورد حل قرار بگیرد برای حل هر تابع دلخواه باید آن را به فرم استاندارد در آورد. فرم استاندارد فرمی است که کلیه مرتبه های بالاتر از یک به مرتبه‏ی یک و پایین تر تبدیل می شوند. در پست … و همچنین در شکل زیر نحوه ی استاندارد سازی یک معادله ی ساده نشان داده شده است.

پس از استاندارد سازی تابع باید آن را به فرم تابعی نوشت که برای حل گرهای متلب قابل استفاده باشد.برای مثال تابع زیربرای معادله ی مرتبه ی دوم به فرم استاندارد نوشته شده است. که با نام دلخواه odefun1 ذخیره شده است.

function dy = odefun1 (t,y)

    dy = zeros(2,1);    % a column vector

    dy(1) = y(2);

    dy(2) = 1000*(1 – y(1)^2)*y(2) – y(1);

end

Tspan: این پارامتر مربوط به زمان شبیه سازی معادله است و به صورت یک بردار دو پارامتری است برای مثال میخواهیم زمان حل معادله بین 0 تا 2 ثا نیه باشد. مقدار tspan=[0,2] قرار داده می شود.

y0: مربوط به شرایط اولیه برای شروع شبیه سازی است. که یک بردار است که به اندازه ی پارامترهای حالت تابع اصلی یا odefun است برای مثال برای تابع odefun1 که در بالا توضیح داده شد مقدار y0  یک بردار مرتبه ی دو است.

Options: یکی از ویژگی های مهمی که در حل مسائل ode بسیار اهمیت دارد این ویژگی است.که برای استفاده از ان از دستور odeset استفاده می شود. با استفاده از این ویژگی میتوان مشخصاتی از قبیل بیشترین گام حل و مقدار اولیه گام حل و پارامترهای نظیر تلورانس مطلق(برداری هم مرتبه با تعداد متغیر حالت) یا تلورانس نسبی(یک عدد) و سایر مشخصات مروبط به حل حل گر را تغییر داد. برای مثال اگر بخواهیم از حلگری با بیشترین گام0.01 و گام اولیه ی 0.001 استفاده شود و تلورانس نسبی 0.001 و تلورانس مطلق  مشابه  ایجاد کینیم ین تغییرات به صورت زیر اعمال می شود.

options = odeset(‘InitialStep’,0.001,’MaxStep’,0.001,’RelTol’,.001,’AbsTol’,[0.001 .001]);

در نهایت دو مثال از روش استفاده از حل گر در دو کد مجزا نوشته خواهد شد.

مثال اول

%% ======================Example1==================================

function solve_ode

    tspan=[0 3000]

    y0=[2,0]

    [T,Y] = ode15s(@vdp1000,tspan,y0);

    plot(T,Y(:,1),’-o’)

    function dy = vdp1000(t,y)

        dy = zeros(2,1);    % a column vector

        dy(1) = y(2);

        dy(2) = 1000*(1 – y(1)^2)*y(2) – y(1);

    end

end

مثال دوم

%% ======================Example2==================================

function ode_2

    options = odeset(‘RelTol’,1e-4,’AbsTol’,[1e-4 1e-4 1e-5]);

    [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options);

    plot(T,Y(:,1),’-‘,T,Y(:,2),’-.’,T,Y(:,3),’.’)

    function dy = rigid(t,y)

        dy = zeros(3,1);    % a column vector

        dy(1) = y(2) * y(3);

        dy(2) = -y(1) * y(3);

        dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

    end

end

 در صورت داشتن هرگونه سوال، لطف کنید سوالاتتون رو در قسمت نظرات مطرح کنید. و در صورت داشتن پروژه در خصوص نرم افزار MATLAB و مهندسی مکانیک ، کنترل، محاسبات عددی، SIMULINK، SimMechanics میتوانید از طریق ایمیل و تلفن در قسمت تماس با ما، ارتباط برقرارکنید.